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 2020.08.26 波形処理 第3回 黒鍵と白鍵

YouTubeでポイントを説明しています。画像をクリックすると再生できます。

波形処理第2回では音程と音階についてみてきました。 第3回では、第2回で触れたピタゴラス音律を作り、黒鍵と白鍵、長音階と短音階について考察したいと思います。

今回の内容は下記の書籍も参考にしていますので、一読されると理解が深まると思います。
音律と音階の科学 新装版 ドレミ…はどのように生まれたか 小方厚著/講談社
およそ10年前に刊行されたブルーバックス屈指の人気作が、装いを新たに生まれ変わる。なぜ音楽は音をデジタル化し、ドレミ…を使うことにしたのか? そもそもドレミ…はどうやって決まったのか? なぜ特定の和音は心地よいのか? 簡単な数学で、知れば知るほどおもしろい音楽の秘密をあばく!


■ピタゴラス音律
まずは前回「第2回 平均律と純正律」で軽くふれたピタゴラス音律についてみてみます。

空き箱に1本の弦を張って、一弦琴(いちげんきん)を作ります。 弦の長さが半分になる位置を棒で抑えて弾くと、波長は元の音の半分になり、周波数はその逆数の2倍(1オクターブ上)になります。
ピタゴラスは一弦琴を2つ並べ、片方の一弦琴の長さ3分の1のところを抑えて、両方の一弦琴を同時に弾くと心地よく響くことを発見しました。

この際、棒で抑えた弦の右側を弾くと、なにも抑えていない弦(開放弦)のときと比べ、波長は3分の2となり、周波数は1.5倍になります。 棒で抑えた弦の左側を弾くと、開放弦に比べ、波長は3分の1、周波数は3倍になり、また。弦の右側の長さの半分になるので、 右側を弾いた時の2倍、1オクターブ上の音がでます。
ピタゴラスは基準となる音(根音)の周波数を3倍して、音を重ね合わせていき、その際に、 根音から1オクターブ内に収まるように2の倍数で割っていきました。

ピタゴラス音律 平均率
3 → 3/2 = 1.5  ソ G  27/12 → 27/12 = 1.498
32 → 32/23 = 1.125  レ D  214/12 → 22/12 = 1.122
33 → 33/24 = 1.687  ラ A  221/12 → 29/12 = 1.682
34 → 34/26 = 1.265  ミ E  228/12 → 24/12 = 1.260
35 → 35/27 = 1.898  シ B  235/12 → 211/12 = 1.888
36 → 36/29 = 1.423ファ# F#242/12 → 26/12 = 1.414
37 → 37/211 = 1.067# C#249/12 → 21/12 = 1.059
38 → 38/212 = 1.601# G#256/12 → 28/12 = 1.587
39 → 39/214 = 1.201# D#263/12 → 23/12 = 1.189
310 → 310/215 = 1.802# A270/12 → 210/12 = 1.782
311 → 311/217 = 1.351 ファ F  277/12 → 25/12 = 1.335
312 → 312/219 = 1.013  ド C  284/12 → 20 = 1

3の12乗が根音の倍数に近くなったので、ここで打ち切ると、12音からなる音律ができあがります。

表の右側の部分に平均律の2の12乗根(2n/12)を対応させています。
ピタゴラスは一弦琴の左側を使って計算していますが、平均律では一弦琴の右側の周波数比3/2をベースにしている形になり、 その値は、27/12になります。この27n/12で積み上げ、指数部分が1で完結しています。

この音の積み重ね6回までに現れる音と基準音を含めた7音で、音高順に並べたものが、ドレミファ#ソラシになります。 ピタゴラスの時代には、ファが半音上がったファ#の音階が主流でした。
現在は、ドの5度上のソ(2(12n+7)/12)に対し、ドの5度下のファ(212n-7)を音階に採用したものになっています。


もし音の積み重ねを12回で切らないで、これ以上続けると次に 3m/2n が1に近づくのは、m=53,n=84 のときで、その比は 1.002 になります。
この53音ピタゴラス音律では、当然1オクターブに53音存在し、誰も弾く気にはなれません。

基準音をド(C)として平均律の音程に当てはめてみると下記のようになります。
ちなみにピタゴラス(紀元前582年 - 紀元前496年)の時代にはまだ鍵盤楽器が存在しないので、そもそも黒鍵、白鍵もありません。
平均律
 1 21/1222/1223/1224/1225/1226/1227/1228/1229/12210/12211/12 2 
ファ

ドから次のドまでの8つの音を構成音として、白鍵が定まります。
この構成音に漏れた音を黒鍵として区別します。

ピアノの鍵盤上で、白鍵で表される音を幹音(natural note)と呼び、黒鍵は派生音として区別されます。
また黒鍵も含め、隣り合う音の間隔は半音と定義されます。 半音+半音=全音になります。

度数とは幹音の間隔を指し、基準となる音自身を1度と数え、基準音から数えます。 27/12の間隔は、5度に相当します。

■長音階

長音階では、全音・全音・半音・全音・全音・全音・半音の間隔で並ぶ8つの音で音階が作られます。
ここでは、主音を1つ上にずらしていき、各長調の音階を作るプログラムを考えてみます。

ド(英名:C/かな:ハ)を基準とした白鍵の間隔(音程)をみてみましょう。

ドの音を起点とした場合のこの音階は C Major:ハ長調の音階になります。

次に基準をレに移してみます。

レを基準とした長音階上にある音は、レ・ミ・ファ#・ソ・ラ・シ・ド#・レ になります。#は半音上の音を指します。
このようにニ長調の音階では、ファとドに#の調号が付いた音階になります。

ドから半音分移動して、ド♯に移すとこうなります。

ド♯を基準とした長音階上にある音は、ド♯・レ♯・ファ・ファ#・ソ#・ラ#・ド・ド# になります。
このままでは、幹音のミとシが抜けてしまいます。そこで、ファ→ミ#、ド→シ# として表現を改めます。
そうすると、ド♯・レ♯・ミ#・ファ#・ソ#・ラ#・シ#・ド# の嬰ハ長調の音階になります。 #が6個以上付く長調の場合、音階名の先頭に「嬰」を付加します。
後述しますが、嬰の付く長調の音階は、♭の調号の付く長調の音階に置き換えることができます。これを異名同音といいます。

次に、レ♯を基準とするとどうなるでしょう。

レ♯を基準とした長音階上にある音は、レ#・ファ・ソ・ソ#・ラ#・ド・レ・レ# になります。
この場合は、嬰ハ長調のような小細工は使えないので、半音下げる♭の調号を使います。
そうすると、ミ♭・ファ・ソ・ラ♭・シ♭・ド・レ・ミ♭ という変ホ長調の音階になります。
♭が2個以上付く長調の音階は、音階名の先頭に「変」を付加します。

上記のような条件を考慮して、ドから始めて、半音ずつ上げて長音階を作ってみます。
<?php
$sharp    = array(1=>'C',2=>'C#',3=>'D',4=>'D#',5=>'E',6=>'F',7=>'F#',8=>'G',9=>'G#',10=>'A',11=>'A#',12=>'B',13=>'B#');
$flat     = array(1=>'C',2=>'Db',3=>'D',4=>'Eb',5=>'E',6=>'F',7=>'Gb',8=>'G',9=>'Ab',10=>'A',11=>'Bb',12=>'B',13=>'Cb');
$equalKey = array('Cb'=>11,'C'=>0,'C#'=>1,'Db'=>1,'D'=>2,'D#'=>3,'Eb'=>3,'E'=>4,'E#'=>5,'Fb'=>4,'F'=>5,'F#'=>6,'Gb'=>6,'G'=>7,'G#'=>8,'Ab'=>8,'A'=>9,'A#'=>10,'Bb'=>10,'B'=>11,'B#'=>0);
$major    = array(2,2,1,2,2,2);

function makeScale($scale,$interval,$pos) {

	global $equalKey;
	$keyFlag = null;
	$stack = array();
	$cmp = $scale[$pos][0];

	//音階の先頭に主音を設定
	$stack[]=$scale[$pos];

	// 長音階のキーを取得していく
	for($i=0;$i<6;$i++) {
		$pos+=$interval[$i];
		if ($pos>12) $pos-=12;
		$stack[]=$scale[$pos]; 
	}

	// 補正処理
	for($i=1;$i<7;$i++) {
		$cmp = chr(ord($cmp)+1);
		if ($cmp>'G') $cmp='A';
		$esc=$stack[$i];
		if ($stack[$i][0]>$cmp) $stack[$i]=$cmp.'#';
		if ($stack[$i][0]<$cmp) $stack[$i]=$cmp.'b';
		if ($equalKey[$stack[$i]]!=$equalKey[$esc]) return false;
	}

	for($i=0,$s=null;$i<7;$i++) $s .= $stack[$i]."→";
	$s .= $stack[0];
	return $s;
}

// 長音階 #系列
for($i=1;$i<13;$i++) {
	if ($ret=makeScale($sharp,$major,$i)) {
		if (!strpos($ret,'b')) echo $ret."
\n"; } } // 長音階 ♭系列 for($i=2;$i<13;$i++) { if (!($ret=makeScale($flat,$major,$i))) { if ($flat[$i]=='B') { $flat2 = $flat; $flat2[$i]='Cb'; $ret = makeScale($flat2,$major,$i); } } if (($ret)&&(!strpos($ret,'#'))) echo $ret."
\n"; } ?>

実行してみると、こんな感じになります。
C→D→E→F→G→A→B→C
C#→D#→E#→F#→G#→A#→B#→C#
D→E→F#→G→A→B→C#→D
E→F#→G#→A→B→C#→D#→E
F#→G#→A#→B→C#→D#→E#→F#
G→A→B→C→D→E→F#→G
A→B→C#→D→E→F#→G#→A
B→C#→D#→E→F#→G#→A#→B
C→D→E→F→G→A→B→C
Db→Eb→F→Gb→Ab→Bb→C→Db
Eb→F→G→Ab→Bb→C→D→Eb
F→G→A→Bb→C→D→E→F
Gb→Ab→Bb→Cb→Db→Eb→F→Gb
Ab→Bb→C→Db→Eb→F→G→Ab
Bb→C→D→Eb→F→G→A→Bb
Cb→Db→Eb→Fb→Gb→Ab→Bb→Cb

■短音階

(自然)短音階では、全音・半音・全音・全音・半音・全音・全音の間隔で並ぶ8つの音で音階が作られます。
上記のプログラムで
$minor = array(2,1,2,2,1,2);
$ret=makeScale($flat,$minor,$i);
と変更すれば、短音階を作り出せますが、長音階は、簡単に短音階に変換できます。
ド(C)を基準とする長音階は、全音・全音・半音・全音・全音・全音・半音の並びとなり、 ラ(A)を基準とすると短音階は、全音・半音・全音・全音・半音・全音・全音の並びとなりますが、 音階を構成する全音と半音の数は同じで、循環するその並びは一定です。
結果として、調号の出現する順番も同様になります。

↓↑↓↑
#が3個以上付く短調の場合、音階名の先頭に「嬰」を付加します。
♭が5個以上付く短調の場合、音階名の先頭に「変」を付加します。

■調号出現の順番

ピタゴラス音律や平均律では、基準となる音から5度上の音を重ね合わせて作られていました。

#の調号は、ファの位置から始まり、5度上の音(2(5+7n)/12)の位置に増えていきます。
25/12 212/12 219/12 226/12 233/12 240/12 247/12
指数の整数部分を除いて整理すると
25/12 212/12 27/12 22/12 29/12 24/12 211/12
ファ

長調の場合、調号一番右の#の次が主音になります。
短調の場合、調号一番右の#の付く幹音の1つ下の幹音が主音になります。

♭の調号の付け方は、シ(2-1/12)の位置から始まって、♯のときとは逆回転のように5度下の音(2(-1-7n)/12)に移動しながら♭を1つずつ増やしていきます。
2-1/12 2-8/12 2-15/12 2-22/12 2-29/12 2-36/12 2-43/12
指数の整数部分を除いて整理すると
211/12 24/12 29/12 22/12 27/12 212/12 25/12
ファ

長調の場合、調号一番右の♭の付く幹音の4度下が主音になります。
短調の場合、調号一番右の♭の付く幹音の6度下(3度上)が主音になります。

この規則性に従って、調号の数に対応する音階を求めるプログラムを書くことが可能ですが、 ある主音に対する音階を求める場合には先程のプログラムのほうが便利です。

■曲の調を調べ方

・調号をみると、まず2つの調に絞れます。これだけでは長調か短調か分かりません。
・そこで、曲を弾いてみて、明るい響きなら「長調」、暗い響きなら「短調」と判断できます。
・基本的に曲は主音で始まって、主音で終わることが多く、特に曲の最後が主音の確率が高いようです。

この楽譜はフェデリコ・モンポウの歌と踊り8番です。

調号をみると、変ロ長調あるいはト短調であることがわかります。
メロディーラインをみると、ソで始まり、曲は、ソとレで終わっていることから、ト短調に決まります。

■異名同音調
異名同音(いめいどうおん)とは、平均律において、音名は異なるものの、実際の音が同じ音になる音名をいいます。
調としての異名同音(異名同音調)は、調号の制約の関係でシャープやフラットが5個以上の調となる次の6組に限られます。
嬰へ長調(F sharp major)←→変ト長調(G flat major)
ロ長調(B major)←→変ハ長調(C flat major)
嬰ハ長調(C sharp major)←→変ニ長調(D flat major)
嬰ニ短調(D sharp major)←→変ホ短調(E flat minor)
嬰ト短調(G sharp major)←→変イ短調(A flat minor)
嬰イ短調(A sharp major)←→変ロ短調(B flat minor)

こんな難解な調号を使わずに嬰ハ長調なら異名同音の変ニ長調(♭5個)、変ハ長調ならロ長調にしなかったの?とも思ってしまいますが、これにも作曲上の深い理由があります。 でも、深すぎるので、現段階では取り扱いません。
ちなみに、この難解な調号を使った曲には↓のような曲があります。
【嬰ハ長調】
バッハ 平均律クラヴィーア曲集 第1巻第3番、第2巻第3番
バッハ 前奏曲とフーガ第3番 BWV872
マーラー 交響曲第10番

■参考文献
音律と音階の科学 新装版 ドレミ…はどのように生まれたか 小方厚著/講談社
音楽世界の始まりに、ピタゴラスあり!「ドレミ…は素数の2と3を使って決めましたよ」

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