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2020.07.22 波形処理 第2回 平均律と純正律 (2020.08.23更新)

YouTubeでポイントを説明しています。画像をクリックすると再生できます。

波形処理第1回では音の基本となる波を、三角関数を使って作り出しました。 第2回では音程と音階を作っていきます。
音程とは、音の高さではなく、音と音との隔たりを指し、音階は音の高さにより昇順あるいは降順にならべたものです。

■ピタゴラス音律
まず最初に疑問に思うのが、1オクターブがなぜ12個の音で構成されているかです。
この起源は、ギリシャ時代のピタゴラスにまで遡ります。 ピタゴラスは一弦琴を2つ並べ、基本音とその3倍音を同時に弾くと心地よく響くことを発見しました。 ピタゴラスは基準となる音(根音)の周波数を3倍して、根音から1オクターブ内に収まるように2で割って、音を重ね合わせていきました。 これはピタゴラス音律と呼ばれ、12個の音で構成されています。
ピタゴラス音律に関しては、次回「黒鍵と白鍵」で詳しくみていきます。


音律の系譜は、ピタゴラス音律→純正律→ミーントーン→ウェル・テンペラメント→平均律と流れていきます。

■平均律
ヨーロッパで最初に平均律を2の12乗根に基づいて算出したのは数学者、物理学者であるシモン・ステヴィン(Simon Stevin、1548年 - 1620年、フランドル(現:ベルギー)ブルッヘ出身)です。
イタリアの天文学者、哲学者、物理学者であるガリレオ・ガリレイよりも早く落下の法則を発見し、また、ヨーロッパで初めて小数を提唱したとして名高く。また、力の平行四辺形の法則の発見者としても知られています。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
平均律の音程では、1オクターブの中に含まれる12個の半音程をすべて等しく配置します。 つまり、音の周波数は2の12乗根を公比とする等比数列になっています。
実際の音の周波数は、(基準になる音)×2(n/12)となります。1オクターブ上の音は、2(12/12)=21=2で、基準となる音の2倍の周波数になります。

実際に、python で基準音の周波数を1として、平均律による音の周波数の比率を求めてみます。

$ vi equaltemp.py
if __name__ == '__main__':
  print('1.000')
  for i in range(1,13):
    print('2^({0:d}/12) = {1:.3f}'.format(i,round(2**(i/12),3)))
$ python3 equaltemp.py
1.000
2^(1/12) = 1.059
2^(2/12) = 1.122
2^(3/12) = 1.189
2^(4/12) = 1.260
2^(5/12) = 1.335
2^(6/12) = 1.414
2^(7/12) = 1.498
2^(8/12) = 1.587
2^(9/12) = 1.682
2^(10/12) = 1.782
2^(11/12) = 1.888
2^(12/12) = 2.000

みてわかるように、オクターブ以外の音程に対応する周波数比は整数比にはなりません。
1つの音を鳴らす分には問題ありませんが、複数の音を同時に鳴らすと濁った音になり、平均律の音程では、きれいな音は得られません。
心地よく響く音は、基準となる音(主音)との周波数比が単純な整数比になる必要があります。
つまり、重なり合った音の、周波数比の最小公倍数が小さいほど、短い周期で同じ合成波形を繰り返し、澄んだ音になります。

澄んだ音にするには、音楽の専門家のような複雑な知識は必要ありません。
音程をできるだけ単純な整数比になるように、プログラムで比率を補正してしまいましょう。
まずは、周波数比1~2の1オクターブの範囲で分数を生成していきます。
3/2,4/3,5/3,5/4,6/4,7/4・・・
平均律の等比数列の値を、この分数で割って、1に近い値となる分数を採用します。
例えば、2^(4/12)の比率1.260を例にとると
1.260/(3/2)=0.8400
1.260/(4/3)=0.9450
1.260/(5/3)=0.7560
1.260/(5/4)=1.0080

プログラムを書くと、こんな感じになります。

$ vi justtemp.py
def ratio(target):

  loop = 100
  frac, denom = 3,2
  error = 0.0095

  while loop:
    diff = abs(target*denom/frac -1)
    if diff < error:
      just = frac/denom;
      print('{0:d}/{1:d}={2:.3f}'.format(frac,denom,just))
      return
    else:
      frac +=1
      if (frac/denom)>=2.0:
        denom +=1
        frac = denom + 1
    loop -= 1

  print('{0:d}/{1:d}'.format(frac,denom))

if __name__ == '__main__':
  print('1.000')
  for i in range(1,12):
    hz = round(2**(i/12),3)
    print('{0:.3f} '.format(hz),end="")
    ratio(hz)
プログラムを実行してみます。

$ python3 justtemp.py
1.000
1.059 16/15=1.067
1.122 9/8=1.125
1.189 6/5=1.200
1.260 5/4=1.250
1.335 4/3=1.333
1.414 17/12=1.417
1.498 3/2=1.500
1.587 8/5=1.600
1.682 5/3=1.667
1.782 16/9=1.778
1.888 15/8=1.875

左側の値が平均律、真ん中が補正した整数比、右が真ん中の分数の値です。
この補正した音階は純正律音階(ツァルリーノ音階)になっていて、音階内の多くの和音が美しく響きます。
音階の構成音の周波数比を純正律音階と平均律音階で比較すると、下記のようになります。
平均律
11.0591.1221.1891.2601.3351.4141.4981.5871.6821.7821.888
純正律
11.0671.1251.2001.2501.3331.4171.5001.6001.6671.7781.875
116/159/86/55/44/317/123/28/55/316/915/8

純正律における基準となる音をドとして、ハ長調の音階に当てはめてみましょう。
CDEFGAB
11.1251.2501.3331.5001.6671.875
19/85/44/33/25/315/8

主要3和音の周波数比をみてみると
ド:ミ:ソ = 1:5/4:3/2 = 4:5:6
ファ:ラ:ド = 4/3:5/3:2 = 4:5:6
ソ:シ:レ = 3/2:15/8:(9/8)*2 = 12:15:18 = 4:5:6
すべての周波数比は、4:5:6と単純な比率になっています。
この中の一番高い音を1オクターブ下げた転回音程をとると、6/2=3、周波数比でいうと、4:5:3になり、ピタゴラスの定理にてでくる整数比に一致するから不思議です。

ピタゴラスの定理(三平方の定理)

ピタゴラスの定理では、直角三角形において、斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、 a2+b2=c2 という関係が成り立ちます。
この際、a,b,c の最も簡単な整数比は a:b:c=3:4:5 となります。この均衡のとれた3,4,5という比率はとても魅力的で さらに、aとbとcを足してできる12という数字も意味深いものに思えてきます。

ここで、1つ問題があります。

DEF#GABC#
1.1251.2501.4171.5001.6671.8751.067
9/85/417/123/25/315/816/15

ドを基準音として組み立てた場合には、綺麗な周波数比になりますが、 このままの状態で、レを基準とするニ長調に適用しようととすると、二長調の主要3和音は簡単な周波数比ではなくなり、二長調の主和音は濁った響きになってしまいます。
レ:ファ#:ラ = 9/8:17/12:5/3 = 27:34:40
ソ:シ:レ = 3/2:15/8:(9/8)*2 = 12:15:18 = 4:5:6
ラ:ド#:ミ = 5/3:(16/15)*2:(5/4)*2 = 100:128:150 = 50:64:75
このように、純正律音階は移調すると美しい響きが失われてしまいます。
これは、純正律では音階の中に、周波数比9/8と10/9の2通りの全音音程が存在することが原因です。
ド:レ=ファ:ソ=ラ:シ=8:9
レ:ミ=ソ:ラ=9:10

コンピュータで音階を作るのであれば、ニ長調の場合は基準音をレとして、音程を配置すればよく、造作ないことですが、 生のピアノを調律する場合にはそうはいきません。 ドの音を基準に調律すると、ハ長調はきれいに響き、二長調は濁った響きになってしまいます。
平均律の利点は、音の濁りは発生するものの、すべての音程が均一なので移調は自由にできるという点です。
調律の現場では、ピアノの調律はほとんど平均律で行っているようです。

最後に周波数比4:5:6となる和音の波形を合成してみます。

$ vi chord.py
import matplotlib.pyplot as plt
import math

if __name__ == '__main__':
  lcm       = 16
  sampling  = 64
  amplitude = [0]*sampling*lcm
  cycle     = [0]*sampling*lcm
  for i in range(0,sampling*lcm):
    amplitude4 = math.sin(2*math.pi*i/sampling)
    amplitude5 = math.sin(2*math.pi*(5/4)*i/sampling)
    amplitude6 = math.sin(2*math.pi*(3/2)*i/sampling)
    amplitude[i] = amplitude4 + amplitude5 + amplitude6
    cycle[i] = i/sampling

  plt.plot(cycle, amplitude)
  plt.show()
  plt.close()
$ python3 chord.py


短い周期の中で、同じ波形が繰り返されているのがわかります。

今回、説明なしにいきなり、ハ長調、二長調という用語を使用してしまいました。 また、ピアノでいうところの白鍵、#の付いた黒鍵など、その成り立ちについてはまた改めて考えていきたいと思います。

■参考文献
小林 亮 広島大学大学院理学研究科 - 音の波と三角関数
・音律と音階の科学 小方厚著 講談社
 Raspberry Pi(ラズベリー パイ)は、ARMプロセッサを搭載したシングルボードコンピュータ。イギリスのラズベリーパイ財団によって開発されている。
2020.01.05 第1回 abcjs 楽譜作成・演奏スクリプト
2020.01.09 I2S通信によるハイレゾ音源再生
2020.01.18 MIDI再生:FM音源YMF825+Arduino編
2020.01.24 FM音源YMF825+micro:bit編
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2020.03.18 テキスト読み上げ gTTS
2020.05.19 テキスト読み上げ AquesTalk pico LSI
2020.06.22 波形処理 第1回 音の波と三角関数
2020.07.22 波形処理 第2回 平均律と純正律
2020.08.26 波形処理 第3回 黒鍵と白鍵
2020.11.21 深層学習 第1回環境整備
2020.12.19 深層学習 第2回マルコフ連鎖・自動歌詞生成
2021.01.02 深層学習 第3回コード進行解析
2021.01.16 波形処理 第4回 コード演奏
2021.08.07 MIDI制御/Adafruit Music Maker
2021.08.23 MIDIフォーマット解析
2021.08.24 オーディオアンプ・スピーカー


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