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2020.07.22 波形処理 第2回 平均律と純正律 (2020.08.23更新)

YouTubeでポイントを説明しています。画像をクリックすると再生できます。

波形処理第1回では音の基本となる波を、三角関数を使って作り出しました。 第2回では音程と音階を作っていきます。
音程とは、音の高さではなく、音と音との隔たりを指し、音階は音の高さにより昇順あるいは降順にならべたものです。

■ピタゴラス音律
まず最初に疑問に思うのが、1オクターブがなぜ12個の音で構成されているかです。
この起源は、ギリシャ時代のピタゴラスにまで遡ります。 ピタゴラスは一弦琴を2つ並べ、基本音とその3倍音を同時に弾くと心地よく響くことを発見しました。 ピタゴラスは基準となる音(根音)の周波数を3倍して、根音から1オクターブ内に収まるように2で割って、音を重ね合わせていきました。 これはピタゴラス音律と呼ばれ、12個の音で構成されています。
ピタゴラス音律に関しては、次回「黒鍵と白鍵」で詳しくみていきます。


音律の系譜は、ピタゴラス音律→純正律→ミーントーン→ウェル・テンペラメント→平均律と流れていきます。

■平均律
ヨーロッパで最初に平均律を2の12乗根に基づいて算出したのは数学者、物理学者であるシモン・ステヴィン(Simon Stevin、1548年 - 1620年、フランドル(現:ベルギー)ブルッヘ出身)です。
イタリアの天文学者、哲学者、物理学者であるガリレオ・ガリレイよりも早く落下の法則を発見し、また、ヨーロッパで初めて小数を提唱したとして名高く。また、力の平行四辺形の法則の発見者としても知られています。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
平均律の音程では、1オクターブの中に含まれる12個の半音程をすべて等しく配置します。 つまり、音の周波数は2の12乗根を公比とする等比数列になっています。
実際の音の周波数は、(基準になる音)×2(n/12)となります。1オクターブ上の音は、2(12/12)=21=2で、基準となる音の2倍の周波数になります。

実際に、python で基準音の周波数を1として、平均律による音の周波数の比率を求めてみます。

$ vi equaltemp.py
if __name__ == '__main__':
  print('1.000')
  for i in range(1,13):
    print('2^({0:d}/12) = {1:.3f}'.format(i,round(2**(i/12),3)))
$ python3 equaltemp.py
1.000
2^(1/12) = 1.059
2^(2/12) = 1.122
2^(3/12) = 1.189
2^(4/12) = 1.260
2^(5/12) = 1.335
2^(6/12) = 1.414
2^(7/12) = 1.498
2^(8/12) = 1.587
2^(9/12) = 1.682
2^(10/12) = 1.782
2^(11/12) = 1.888
2^(12/12) = 2.000

みてわかるように、オクターブ以外の音程に対応する周波数比は整数比にはなりません。
1つの音を鳴らす分には問題ありませんが、複数の音を同時に鳴らすと濁った音になり、平均律の音程では、きれいな音は得られません。
心地よく響く音は、基準となる音(主音)との周波数比が単純な整数比になる必要があります。
つまり、重なり合った音の、周波数比の最小公倍数が小さいほど、短い周期で同じ合成波形を繰り返し、澄んだ音になります。

澄んだ音にするには、音楽の専門家のような複雑な知識は必要ありません。
音程をできるだけ単純な整数比になるように、プログラムで比率を補正してしまいましょう。
まずは、周波数比1~2の1オクターブの範囲で分数を生成していきます。
3/2,4/3,5/3,5/4,6/4,7/4・・・
平均律の等比数列の値を、この分数で割って、1に近い値となる分数を採用します。
例えば、2^(4/12)の比率1.260を例にとると
1.260/(3/2)=0.8400
1.260/(4/3)=0.9450
1.260/(5/3)=0.7560
1.260/(5/4)=1.0080

プログラムを書くと、こんな感じになります。

$ vi justtemp.py
def ratio(target):

  loop = 100
  frac, denom = 3,2
  error = 0.0095

  while loop:
    diff = abs(target*denom/frac -1)
    if diff < error:
      just = frac/denom;
      print('{0:d}/{1:d}={2:.3f}'.format(frac,denom,just))
      return
    else:
      frac +=1
      if (frac/denom)>=2.0:
        denom +=1
        frac = denom + 1
    loop -= 1

  print('{0:d}/{1:d}'.format(frac,denom))

if __name__ == '__main__':
  print('1.000')
  for i in range(1,12):
    hz = round(2**(i/12),3)
    print('{0:.3f} '.format(hz),end="")
    ratio(hz)
プログラムを実行してみます。

$ python3 justtemp.py
1.000
1.059 16/15=1.067
1.122 9/8=1.125
1.189 6/5=1.200
1.260 5/4=1.250
1.335 4/3=1.333
1.414 17/12=1.417
1.498 3/2=1.500
1.587 8/5=1.600
1.682 5/3=1.667
1.782 16/9=1.778
1.888 15/8=1.875

左側の値が平均律、真ん中が補正した整数比、右が真ん中の分数の値です。
この補正した音階は純正律音階(ツァルリーノ音階)になっていて、音階内の多くの和音が美しく響きます。
音階の構成音の周波数比を純正律音階と平均律音階で比較すると、下記のようになります。
平均律
11.0591.1221.1891.2601.3351.4141.4981.5871.6821.7821.888
純正律
11.0671.1251.2001.2501.3331.4171.5001.6001.6671.7781.875
116/159/86/55/44/317/123/28/55/316/915/8

純正律における基準となる音をドとして、ハ長調の音階に当てはめてみましょう。
CDEFGAB
11.1251.2501.3331.5001.6671.875
19/85/44/33/25/315/8

主要3和音の周波数比をみてみると
ド:ミ:ソ = 1:5/4:3/2 = 4:5:6
ファ:ラ:ド = 4/3:5/3:2 = 4:5:6
ソ:シ:レ = 3/2:15/8:(9/8)*2 = 12:15:18 = 4:5:6
すべての周波数比は、4:5:6と単純な比率になっています。
この中の一番高い音を1オクターブ下げた転回音程をとると、6/2=3、周波数比でいうと、4:5:3になり、ピタゴラスの定理にてでくる整数比に一致するから不思議です。

ピタゴラスの定理(三平方の定理)

ピタゴラスの定理では、直角三角形において、斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、 a2+b2=c2 という関係が成り立ちます。
この際、a,b,c の最も簡単な整数比は a:b:c=3:4:5 となります。この均衡のとれた3,4,5という比率はとても魅力的で さらに、aとbとcを足してできる12という数字も意味深いものに思えてきます。

ここで、1つ問題があります。

DEF#GABC#
1.1251.2501.4171.5001.6671.8751.067
9/85/417/123/25/315/816/15

ドを基準音として組み立てた場合には、綺麗な周波数比になりますが、 このままの状態で、レを基準とするニ長調に適用しようととすると、二長調の主要3和音は簡単な周波数比ではなくなり、二長調の主和音は濁った響きになってしまいます。
レ:ファ#:ラ = 9/8:17/12:5/3 = 27:34:40
ソ:シ:レ = 3/2:15/8:(9/8)*2 = 12:15:18 = 4:5:6
ラ:ド#:ミ = 5/3:(16/15)*2:(5/4)*2 = 100:128:150 = 50:64:75
このように、純正律音階は移調すると美しい響きが失われてしまいます。
これは、純正律では音階の中に、周波数比9/8と10/9の2通りの全音音程が存在することが原因です。
ド:レ=ファ:ソ=ラ:シ=8:9
レ:ミ=ソ:ラ=9:10

コンピュータで音階を作るのであれば、ニ長調の場合は基準音をレとして、音程を配置すればよく、造作ないことですが、 生のピアノを調律する場合にはそうはいきません。 ドの音を基準に調律すると、ハ長調はきれいに響き、二長調は濁った響きになってしまいます。
平均律の利点は、音の濁りは発生するものの、すべての音程が均一なので移調は自由にできるという点です。
調律の現場では、ピアノの調律はほとんど平均律で行っているようです。

最後に周波数比4:5:6となる和音の波形を合成してみます。

$ vi chord.py
import matplotlib.pyplot as plt
import math

if __name__ == '__main__':
  lcm       = 16
  sampling  = 64
  amplitude = [0]*sampling*lcm
  cycle     = [0]*sampling*lcm
  for i in range(0,sampling*lcm):
    amplitude4 = math.sin(2*math.pi*i/sampling)
    amplitude5 = math.sin(2*math.pi*(5/4)*i/sampling)
    amplitude6 = math.sin(2*math.pi*(3/2)*i/sampling)
    amplitude[i] = amplitude4 + amplitude5 + amplitude6
    cycle[i] = i/sampling

  plt.plot(cycle, amplitude)
  plt.show()
  plt.close()
$ python3 chord.py


短い周期の中で、同じ波形が繰り返されているのがわかります。

今回、説明なしにいきなり、ハ長調、二長調という用語を使用してしまいました。 また、ピアノでいうところの白鍵、#の付いた黒鍵など、その成り立ちについてはまた改めて考えていきたいと思います。

■参考文献
小林 亮 広島大学大学院理学研究科 - 音の波と三角関数
・音律と音階の科学 小方厚著 講談社
 Raspberry Pi(ラズベリー パイ)は、ARMプロセッサを搭載したシングルボードコンピュータ。イギリスのラズベリーパイ財団によって開発されている。
2020.01.05 第1回 abcjs 楽譜作成・演奏スクリプト
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